关于“镜子中的物体是左右颠倒,而非上下颠倒”的一些想法

听同学提到这样一个问题:为什么镜子中的物体是左右颠倒,而不是上下颠倒呢?花了一个中午的时间仔细考虑了一下,自以为大致是把这个问题想清楚了。出于好奇,顺手google了一把,发现关于这个问题的讨论并不多。即便是网上存在的一些讨论,也只是简单地解释了一下,并没有深入下去。所以在这里说一下我的想法,以供参考。

这个问题据说是微软的一道面试题,另有一说是剑桥大学对新生的面试题。无论是真是假,至少在某种程度说明了这是一个相当“特别”的问题。而它之所以特别,其实就在于它的似是而非。“颠倒左右却不能颠倒上下”这个命题,第一印象感觉是对的,也符合我们日常的生活经验。但是细一想来又有很多的漏洞。其实这恰恰是这一类命题的价值所在,看似矛盾,说不通的事情,可能是命题本身的逻辑存在问题,也可能恰好揭示我们的习惯逻辑中不合理之处。爱因斯坦说,“No problem can be solved from the same level of consciousness that created it.”对此,我深表赞同。

要说清楚这个问题,当然还得从问题本身说起。“颠倒”一词本身是有误导性的。其实我们不难发现,镜子里的人和真实的人是完美对称的。回顾一下我们所熟悉的初中数学概念。一条线l1与另一条线l2关于x轴对称,就意味着,做任意一条与x轴垂直的直线,该线与l1、l2的两个交点到x轴的距离都相等。这是平面内图形关于线对称的情形。而照镜子其实就是三维立体图形关于平面做对称。从这个定义来看,镜子根本就不存在什么颠倒的问题。头和头的镜像对称,脚和脚的镜像对称,左手和左手的镜像对称,右手和右手的镜像对称。做任意一条和镜子平面垂直的线,它和物、像的两个交点到镜平面的距离都是相等的,也就说关于镜平面是对称的。

说到这里也就解释这个问题“而非”的一面,那么它又为什么“似是”呢?提问者(或者问题的设计者)其实想问的是:为什么镜子里的那个人跟真人比起来,看起来会是反的呢?为什么你的左手会是镜子里那个人的右手呢?为什么你的头不是镜子里那个人的脚呢?

我想,这个问题还是得从平面内曲线关于线对称说起。G.Gamov(伽莫夫)在他的名著《从一到无穷大》为了解释弯曲空间这个概念,提出了一种假想的二维扁片生物。一头平面内的侧身驴,有向左和向右两种。尽管它们在形状上完全相似,但是一头面向右的侧身驴无论在平面内怎样运动,都无法变成向左的侧身驴,除非我们把它拿起来在三维空间翻个身再放回去。Gamov在书中也提到一种左侧身驴和右侧身驴相互转化的可能,那就是在发生了扭曲的莫比乌斯面(Möbius Strip)上。但是如果一头左侧身驴没能幸运地找到莫比乌斯面的入口,它仍然有可能观察到和它相反的右侧身驴的模样。答案很简单,看一面镜子!当然了,对于二维扁片生物来说,它的镜子是一条线,也就是之前提到的那根x对称轴。而对于我们生活在三维空间的人来说,同样存在形状完全相似,却“永远无法”(假如不通过黑洞这样连接三维世界和四维世界的通道的话)相互转化。但万幸的是,我们有镜子!镜子里的像,左手系与右手系和真实的物体是完全相反的。也许有一天人类能够克服四维空间,实现了瓦普跳跃飞行。那么当一个人重返三维空间的时候,他就变成旅行之前他在镜子里的模样了!

当我想到这一点的时候,突然对镜子有了莫名的敬畏感。面对来自另一个空间的自己的模样,难道不是很神奇么?原来我们每天都会做如此不平凡的一件事:面对另一个自己刷牙、洗脸。:-p

那么这一切究竟是怎么发生的呢?我的猜测是这样的:二维图形关于线对称,其本质是将两个二维图形映射到一维空间(线)上,并在映射点两两对等。我们也可以认为是二维图形映射到一维空间,并根据映射信息重建二维图形的过程。在这个映射的过程中我们损失了一个维度的信息,并在重建中根据“对称”的原理补充了该信息并重建二维图形,得到一个相似却绝不相同的像。三维物体关于平面对称也是一样,在映射到镜子平面上损失了一个的信息(从三维到二维)。关于镜子平面重建的像已经补充了失去的信息,但是根据“对称”,这是一个相似却并不相同的像。而损失的这个维度,其实就是三维世界里和镜子平面相垂直的一个纬度。

最后还想简单感慨几句,科普其实有它丰富的内涵,并不像宣传科学知识那么简单。就像信仰远比宗教一词内涵丰富一样。我以为,科普应该更多地是一种理性精神和探索态度的介绍和传达。我也是偶然的机会读到了Gamov的《物理世界奇遇记》,一发不可收拾,从没想到相对论可以用这么简单的道理说清楚。之后就找了Gamov的《从一到无穷大》来读。再然后就发现,这方面值得一读的书其实还有很多。比如马丁·加德纳的《从惊讶到思考》,比如阿西莫夫最新科学指南,比如R.道金斯的《自私的基因》,比如蕾切尔·卡逊的《寂静的春天》……

最后推荐一下三思科学网(oursci.org),上面有不少科普文章和书籍,上面几本书的链接也都来自那里。

本来想贴几张图说的清楚一点,实在麻烦,也就作罢。


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Comments

6 Responses to “关于“镜子中的物体是左右颠倒,而非上下颠倒”的一些想法”
  1. Anonymous says:

    “而损失的这个维度,其实就是三维世界里和镜子平面相垂直的一个纬度。”
    你好,我最近也对这个问题感兴趣,看了你的文章,受益非浅. 我还有疑问, 为什么会损失一个维度?而且为什么偏偏是与镜子平面相垂直的一个维度?

    Reply

  2. unicell says:

    想一想二维图形关于线的对称吧。比如一个三角形关于一条直线的情况。

    这个三角形先要在线上得到投影点,之后再通过映射关系在线的另一侧重新建立像。

    而将一个图形在线上做投影,自然要损失投影方向上的信息。

    Reply

  3. yjoe says:

    呵呵,我刚开了个Blog,第一篇文章就是关于这个。
    博主有空去看看吧:)
    http://yzhou.freehost123.com/?p=4

    Reply

    unicell Reply:

    嗯 写的很有意思哦~ 😀

    Reply

  4. Patcher says:

    博主你好!
    我是上面留言的yjoe
    你说的那几个东西我看了,确实很有趣。
    其中“逃出你的肖申克”的作者我不得不说他是大牛。
    另外“物理世界奇遇记”我也在看。

    对了,我的blog地址换了,http://yzhou.freehostia.com/,原来那个不用了。
    刚开始搞WP,还是菜鸟,文章也少,而且暂时还没时间推广。
    我可以把你的Blog加进Links吗?

    Reply

    unicell Reply:

    哈,随便加~~

    Reply

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